O problemă simplă

De o parte a unui pod se află 4 persoane. Podul poate suporta doar greutatea a două persoane. E noapte şi au la dispoziţie o singură lanternă. Cele patru persoane parcurg podul în 1, 2, 5, respectiv, 10 minute.

Cum reuşesc să treacă toţi podul în doar 17 minute?

Sursă: problemă formulată de Lazari Mihai în Reţeaua Matematică.

P.S. Primul, soluţia problemei a dat-o Adrian Stoica. Totodată, el propune o altă problemă interesantă, care se pare că provine de la binecunoscuta problemă Prinţesa şi Monstrul – un joc diferenţial, studiat de Rufus Isaacs în cartea sa Differential Games:

„Un bazin circular. În centrul lui e un înotător. La marginea bazinului e un pitbull, el nu se deplasează decât pe circumferinţă. Pitbullul vrea să-l “înhaţe” pe înotător. Înotătorul poate înota cu viteza maximă v, pitbullul se poate deplasa cu viteza maximă 4*v.
Cum iese înotătorul din bazin fără a se întâlni cu pitbullul?”

P.P.S. Lazari Mihai vine cu răspunsul său la problema lui Adrian:

„Fie R – raza bazinului. Înotatătorul înoată până la distanţa r de la centrul bazinului, apoi înoată pe circumferinţa de rază r cu acelaşi centru ca şi bazinul până când se află în partea opusa pitbullului (astfel încât centrul bazinului să aparţină segmentului ce uneşte înotătorul cu pitbullul). În continuare înotătorul porneşte pe linie dreaptă în direcţia opusă pitbullului şi înoată până la marginea bazinului, ajungând înaintea pitbullului.

Pentru a reuşi să facă aceste lucruri trebuie de ales o valoare convenabilă pentru r, care va satisface următoarele 2 condiţii:

1) Într-o unitate de timp înotătorul trebuie să descrie un unghi mai mare pe cercul de rază r decât pitbullul. Ştiind că pitbullul are o viteză de 4 ori mai mare => r < R/4

2) Înotătorul trebuie să ajungă la marginea bazinului înaintea pitbullului. El parcurge distanţa R-r, iar pitbullul – pi*R. Deci, ştiind că pitbullul are o viteză de 4 ori mai mare, => R-r < pi*r/4

Rezolvând sistemul format din inecuaţiile de la punctul 1 şi 2, obţinem r apartine ((1-pi/4)R ;R/4).

Sper ca n-am gresit ceva… :)”

Anunțuri

7 comentarii la “O problemă simplă

  1. Domnule profesor!
    Am intrat, oarecum întâmplător pe ToateBlogurile – nu mă pricep prea mult – şi dumneavoastră aţi „dat peste mine”, solicitându-mi „prietenia”. În acest fel am ajuns pe blogul dumneavoastră şi v-am citit şi CV-ul.
    În primul rând vă spun: încântat de cunoştinţă.
    În al doilea rând, doresc să discutăm … dacă, bineînţeles, timpul vă permite şi aveţi plăcere.
    Mă prezint şi eu:
    Mă numesc Adrian Stoica şi sunt născut pe 2 noiembrie 1965.
    Am terminat matematica la Universitatea din Timişoara şi, în prezent, predau la o şcoală generală (I-VIII); de fapt, sunt şi directorul acelei şcoli. E o şcoală mică, într-un sat oarecare.
    Ce să zic? Am mai făcut şi un DSA (un fel de master, aşa se numea atunci, după model francez: „diplomă de studii aprofundate”, cu tema „Modelare matematică în optimizarea proceselor economice”), precum şi o postuniversitară de informatică.
    Mda …
    Ideea este că toate cele patru domenii de interes pentru dumneavoastră, pe care le-aţi menţionat, mă interesează şi pe mine … sau, mai degrabă, mă interesau … cândva.
    În fine … aveţi nişte lucrări pe care le voi downloada şi voi încerca să le citesc.
    Toate cele bune!
    Adrian Stoica

    P.S. Blogul meu este http://casteluldenisip.blogspot.com/ şi v-am trecut în blogroll. Trebuie să vă citesc şi blogul.

  2. Şi eu sunt încântat de cunoştinţă!

    Nu sunt şi eu prea vechi în această activitate. Încerc să cunosc mai bine Blogosfera. Când dau de persoane de o vârstă mai apropiată de a mea, cu toate că în Blogosgeră vârsta e relativă, neapărat încerc să fac cunoştinţă. Mi s-a întâmplat şi mie la început să fiu găsit de alţi blogheri…

    O să citesc şi eu neapărat blogul dră.

  3. podul se trece in 12 minute.
    10+5, pe urma 1+2.
    nicaieri in problema nu se spune ca ei nu pot sa umble pe intuneric.

    da daca lu aista de 10 minute ii dai si lanterna, si cate un picior in fund din partea lu aista de 5 minute, ap se mai poate economisi ceva. 😉

    da daca vrei sa faci problema cu adevarat interesanta, apoi la fiecare individ spui ca trece podu in (x,y) minute – x min cu lanterna si y min fara.

    si eventual ajustezi ponderele astfel incat raspunsul optim sa nu-l mai poata gasi nime manual ci doar dupa ce va scrie un program care va cerceta toate variantele prin backtracking.

  4. 🙂 Exact!
    E o observaţie foarte bună!
    Iar acum să presupunem că ei nu pot trece podul în întuneric, adică fără lanternă…

    Dragă Vitalie,

    Apreciez simţul tău de umor 🙂

    Totuşi e vorba de o problemă simplă… Dacă o vom modifica, poate să piardă din simplitate… Oricum să ştii că e interesantă şi posibil că o s-o propun membrilor Reţelei Matematice (la care te invit să te alături şi atunci ai putea să o propui singur spre rezolvare).

    Îţi mulţumesc pentru comentarii. Le-am cumulat pentru a accentua, cât e posibil, comentraiul cu problema formulată de Adrian. Sper să nu fie cu supărare!

  5. Trece 1 + 2, vine oricare, sa zicem 2 = total 4 min
    Trece 5 + 10, vine celalalt, deci 1 = total 11 min
    Si, in final, trec 1 si 2 = 2 min
    total 17 min

  6. Uite o alta problema:
    Un bazin circular, in centrul lui e un inotator.
    La marginea bazinului e un pitbull, el nu se deplaseaza decat pe circumferinta. Pitbullul vrea sa il „inhate” pe inotator.
    Inotatorul poate inota cu viteza maxima v, pitbullul se poate deplasa cu viteza maxima 4*v.
    Cum iese inotatorul din bazin fara a se intalni cu pitbullul?

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s