Sisteme de numeraţie poziţionale

De mici folosim sistemul de numeraţie zecimal! Suntem atât de familiarizaţi cu el încât ni se pare foarte natural şi aproape unic posibil. Totuşi nu e aşa. Există diverse sisteme de numeraţie!

Ce se înţelege prin sistem de numeraţie?

Un sistem de numeraţie constă din două elemente definitorii:

  • alfabetul – sistemul de cifre, folosit pentru reprezentarea numerelor,
  • sistemul de reguli prin care se reprezintă numerele.

Sistemele de numeraţie pot fi poziţionale şi nepoziţionale. În sistemele nepoziţionale valoarea cifrei nu depinde univoc de poziţia ei (sistemul roman de numeraţie e un exemplu de sistem nepoziţional). În cele poziţionale valoarea cifrei depinde de poziţia pe care o ocupă în număr.

Sistemul zecimal obişnuit (numit şi hindu-arab) are în alfabet 10 cifre: {0, 1, 2, …, 9} şi este poziţional.

Pentru scrierea numărului 777 se foloseşte o singură cifră 7, cifra 7 din dreapta semnifică unităţi, cifra 7 din mijloc semnifică 70, iar cifra 7 din stânga semnifică 700. De fapt valoarea numărului se subînţelege din egalitatea

777=7*102+7*101+7*100.

Observăm că în această expresie un rol important îl are numărul 10, egal cu numărul de cifre din alfabet. Acest număr 10  se numeşte bază a sistemului zecimal de numeraţie, adică numărul de cifre din alfabet este egal cu baza sistemului de numeraţie.

Putem enumera câteva sisteme de numeraţie poziţionale, cu bazele şi alfabetele corespunzătoare:

  • binar, baza 2, alfabetul { 0, 1},
  • ternar, baza 3, alfabetul { 0, 1, 2},
  • cuaternar, baza 4, alfabetul { 0, 1, 2, 3},
  • octal,  baza 8, alfabetul { 0, 1, 2, …, 7},
  • hexazecimal,  baza 16, alfabetul { 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F},
  • vigesimal, baza 20,
  • sexagesimal, baza 60.

Evident, un sistem cu baza 1 nu are sens de folosit.

Pentru simplitate să notăm baza sistemului de numeraţie prin b. Baza în care reprezentăm un număr o scriem sub formă de indice cu paranteze sau fără paranteze (pentru numerele în sistemul zecimal baza poate fi omisă).

Spre exemplu, 201010 =111110110102

Nota bene. Elementele/cifrele alfabetului au semnificaţie numerică ca numere întregi nenegative ordonate consecutiv de la 0 până la b-1.

Diferă alfabetele şi, corespunzător, bazele sistemelor poziţionale de numeraţie. Sistemul de reguli este acelaşi.

Orice număr raţional pozitiv x se reprezintă în baza b sub forma:

xb=cn-1cn-2…c1co,c-1c-2…c-m

şi are în baza 10 semnificaţia numerică:

xb=x10=x = cn-1*bn-1 + cn-2*bn-2+…+c1*b1+co*b0+c-1*b-1+c-2*b-2+…+c-m*b-m.

În această expresie ci aparţine alfabetului {0, 1, 2, …, b-1} şi semnifică valoarea numerică zecimală a simbolului de pe poziţia i.

1F716=1*162+15*161+7*160=503
73,428=7*81+3*80+4*8-1+2*8-2=59,53125

Trecerea unui număr dintr-o bază în alta o numim conversie. La conversia părţii întregi a unui număr raţional  se obţine un număr întreg. La conversia părţii fracţionare – un număr subunitar.

Conversia poate fi efectuată între două baze arbitrare şi direct, dar şi prin intermediul bazei 10. Doar reieşind din comoditate şi deprinderile legate de folosirea bazei zecimale, folosim în asemenea conversii  baza arbitrară 10.

Conversia din b –> 10. Expresia de mai sus (suma) ne dă regula de conversie a unui număr din baza b în baza 10.

Conversia din 10 –> b. Conversia unui număr raţional din baza 10 în baza b se efectuează aparte pentru partea întreagă şi cea fracţionară.

Conversia unui număr întreg zecimal x10 în baza b se efectuează prin împărţiri succesive la b conform următorului procedeu:

  1. i=0; qi=x;
  2. se împarte qi la b şi se obţine câtul qi+1 şi restul ri+1;
    dacă qi+1 este egal cu 0, atunci xb=ri+1 ri…r0 –> stop;
  3. i: =i+1; trecere la pasul 2.

Conversia părţii fracţionare a unui număr raţional se efectuează prin înmulţiri succesive cu b. Astfel, prin înmulţirea cu b a părţii fracţionare

p=c-1*b-1+c-2*b-2+…+c-m*b-m

obţinem:

p*b=c-1+c-2*b-1+…+c-m*b-m-1,

ceea ce înseamnă că am separat prima cifră c-1 după virgulă în reprezentarea numărului xb. Scădem c-1 din ambele părţi ale ultimei identităţi şi obţinem:

p*b – c-1=c-2*b-1+…+c-m*b-m-1

înmulţind această identitate cu b, vom găsi a doua cifra după virgulă pentru reprezentarea căutată.

Continuând procedeul putem ajunge la:

  • un rezultat exact atunci când rezultatul înmulţirii este un număr întreg,
  • un rezultat aproximativ atunci când un procesul de înmulţiri repetate nu se obţine un rezultat întreg şi suntem nevoiţi să finisăm calculele prin adoptarea unei reprezentări aproximative a părţii fracţionare acceptabile.

În final, despre arta da a preda lucruri complexe, folosind tehnologiile moderne, în viziunea lui Alan Kay. Mulţumesc lui Tibi Ruczui pentru furnizarea adresei!

http://video.ted.com/assets/player/swf/EmbedPlayer.swf

Anunțuri

4 comentarii la “Sisteme de numeraţie poziţionale

  1. Pingback: Sisteme de numeraţie poziţionale - Ziarul toateBlogurile.ro

  2. Buna ziua d-l Ungureanu!

    Interesant articol. Doua intrebari aici:

    1. Stiu ca pe parcursul istoriei s-au folosit diferite sisteme de numerare: baza 60, 12 etc. Stiti cumva de ce ne-am oprit anume la 10?
    2. Exista (sau existat) alte sisteme de numeratie nepozitionale in afara de cel roman?

    Multumesc aticipat!

    P.S. In prima egalitate se pare ca ceva nu e in regula!

  3. Bună ziua, Serghei! Bucuros să te reîntâlnesc pe blog 🙂

    1. Motivul presupus este unul trivial – oamenii au zece degete la cele două mâini. Dar au existat mai multe sisteme zecimale, unele nepoziţionale. Presupun că cel modern (hindu-arab) este popular nu numai proprietăţilor incontestabil de bune pe care le are, dar şi faptului că a pătruns în Europa şi a fost propagandat de matematicieni iluştri cum au fost Al-Horesmi şi Fibonacci. Despre rolul marilor personalităţi am mai vorbit.

    2. În spațiul geografic în care s-a dezvoltat vechea civilizație și cultură elenă (peninsula balcanică, coasta apuseană a Asiei Mici, insulele Mării Egee și mai târziu coloniile din sudul Italiei și Siciliei) au apărut și au coexistat mai multe sisteme de numerație, toate fiind de tipul zecimal aditiv nepozițional (cifre acrofonice şi alfabetice bazate pe litere). E posibil că în Cipru poţi să mai întâlneşti şi acum notaţii în acele sisteme.

    Quipu ori khipu reprezintă un sistem de înregistrare al informațiilor folosit în Imperiul Inca și în societațile anterioare acestuia din regiunea Anzilor Cordilieri din America de Sud. constă în general dintr-o piele prelucrată sau păr de lama sau alpaca, tăiată sau separată în multiple șuvițe paralele, colorate diferit, care atârnă vertical și pe care se găsesc informații codificate sub forma unor noduri aflate în diferite grupări și poziții relative unele față de altele. În afara nodurilor, care sunt de diferite forme și complexități, toate piesele quipu prezintă o varietate de culori, despre care se crede că sunt parte integrală a sistemului de înregistrare al datelor.

    Evident că există şa alte sisteme nepoziţionale. În principiu putem singuri inventa, probabil, aşa sisteme. E drept că e mai greu să inventăm ceva foarte bun 🙂

    Mulţumesc pentru indicarea greşelii. Am şi corectat-o!

  4. Pingback: Despre notaţiile matematice « Valorile Vieţii

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s