Operaţii aritmetice în sisteme de numeraţie poziţionale

Vin cu această „pastilă” ca răspuns la solicitările de prezentare a exemplelor de efectuare a operaţiilor aritmetice cu numere în virgulă fixă în sisteme de numeraţie poziţionale, altele decât cel zecimal.

Cunoaştem foarte bine metodele de efectuare a operaţiilor aritmetice în sistemul zecimal. Totuşi ar putea apărea mici confuzii dacă ni s-ar cere să le descriem algoritmic. Oricum lucrurile sunt simple şi le putem suficient clarifica prin exemple elementare.

Spre exemplu, la adunarea a două numere putem convenţional deosebi  două etape:

  1. Numerele se amplasează simetric în raport cu virgula astfel, încât cifrele unităţilor, zecilor, sutelor etc., dar şi a zecimilor, sutimilor miimilor etc., să corespundă reciproc (unele sub altele).
  2. Se adună succesiv cifrele din fiecare poziţie începând din poziţia extremă din dreapta. Dacă rezultatul este mai mare decât 9, atunci în poziţia corespunzătoare se scrie doar cifra unităţilor, iar zecele se transferă ca unitate pe o poziţie superioară, adică pe următoarea poziţie la stânga.

Exemplul 1 de adunare în sistemul zecimal (baza 10).

6123,7
+…………..
2123,5
––––
8247,2

Algoritmul de mai sus se foloseşte neschimbat şi în orice al sistem de numeraţie poziţional, adică în orice altă bată b, doar că la etapa a doua cifra 9 se înlocuieşte cu cifra b-1 din baza b.

Exemplul 2 de adunare în sistemul hexazecimal (baza 16).

0ABCD,E16
+……………….
0F978,816
–––––
1A546,616

Exemplul 3 de adunare în baza 8.

06123,78
+………………
02123,58
––––-
10247,48

Exemplul 4 de adunare în sistemul binar (baza 2).

011011,12
+……………..
010100,12
––––-
110000,02

La scăderea a două numere în primul rând se observă că primul număr (descăzutul) trebuie să fie mai mare decât al doilea (scăzătorul). În caz contrar la scădere numerele se inversează cu rolurile, iar rezultatul final va avea semnul minus.

Prima etapă rămâne neschimbată. A doua are specificul ei:

  1. Numerele se amplasează simetric în raport cu virgula astfel, încât cifrele unităţilor, zecilor, sutelor etc., dar şi a zecimilor, sutimilor miimilor etc., să corespundă reciproc (unele sub altele).
  2. Se scad succesiv cifrele din fiecare poziţie începând din poziţia extremă din dreapta. Dacă prima cifră (descăzutul) este mai mică decât a doua cifră (scăzătorul), atunci se împrumută o unitate din poziţia superioară. Dacă unitatea se împrumută nu din poziţia imediat superioară, atunci în poziţiile cu cifre nule se va scrie cifra b-1. De remarcat  că la împrumutul unităţii, în poziţia pentru care s-a împrumutat se însumează cifra corespunzătoare cu b.

Exemplul 5 de scădere în sistemul zecimal (baza 10).

7003,7
…………..
2124,5
–––
4879,2

Exemplul 6 de scădere în sistemul zecimal (baza 10) când descăzutul e mai mare decât scăzătorul.

07003,7
……………
12124,5
––––
………..?

Observăm că primul număr este mai mic decât al doilea. Le inversăm cu rolurile şi efectuăm operaţia conform algoritmului:

12124,5
……………..
07003,7
––––
05120,8

Rezultatul final:

07003,7
……………..
12124,5
–––
-5120,8

Acelaşi procedeu poate fi folosit la scăderea numerelor în altă bază.

Exemplul 7 de scădere a două numere în sistemul hexazecimal (baza 16).

A001,E16
……………….
0178,816
––––
9E89,616

Exemplul 8 de scădere a două numere în sistemul binar (baza 2).

100000,02
……………….
010100,12
–––––
001011,12

Algoritmii binecunoscuţi de înmulţire şi împărţire în sistemul zecimal la fel se aplică şi în alte sisteme de numeraţie poziţionale. E cazul totuşi să menţionăm că există şi alte metode de efectuare a operaţiilor aritmetice. În sistemele de tipul Wolfram Mathematica se folosesc diverşi algoritmi care efectuează în special înmulţirea numerelor mari mult mai rapid decât prin metodele binecunoscute. O metodă amuzantă de înmulţire poate fi urmărită în clipul alăturat.

Anunțuri

Un comentariu la “Operaţii aritmetice în sisteme de numeraţie poziţionale

  1. Pingback: Operaţii aritmetice în sisteme de numeraţie poziţionale - Ziarul toateBlogurile.ro

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s