Ce înseamnă doctor habilitat?

BolognaRevin la subiectul gradelor şi titlurilor ştiinţifice! Anterior, într-un stil puţin ironic, am scris despre titlul de doctor. Statistica legată de acel articol mi-a sugerat ideea revenirii la subiect, deoarece interesul faţă de subiect există şi din păcate în Internet e tratat insuficient de bine în limba română. Actualmente, spre exemplu, sintagma doctor habilitat, dar şi cuvântul habilitat, nu pot fi găsite în nici-un dicţionar explicativ românesc, accesibil online. În schimb cuvântul doctor este tratat suficient de migălos.

În DEX, spre exemplu, găsim următoarele definiţii: Continuă lectura

Anunțuri

Despre viteza luminii, Eminescu şi… despre un video senzaţional

Luminii solare îi trebuie circa 8 minute şi 19 secunde  ca să ajungă la Pământ. Viteza luminii în vacuum c=299 792 458 ± 1,2 m/s este considerată una dintre constantele fizice fundamentale. E valoarea limită a vitezei pe care o poate atinge o particulă sau un corp. E şi viteza limită de propagare a interacţiunilor.

Galileo Galilei a pus primul tranşant problema aflării vitezei de propagare a luminii în 1620. Chiar dacă existau şi excepţii, până la el savanţii considerau că lumina se propagă instantaneu.

Continuă lectura

Întoarcerea în Oaza Fragilă…

De curând, mass-media internaţionale, acompaniate de diverse şi variate resurse Internet, difuzează un video de la NASA în care timp de circa 7 minute poate fi vizualizat Pământul de pe orbita Staţiei Orbitale Internaţionale (SOI). Video creat cadru cu cadru din imaginile fotografiate de Ron Garan şi Mike Fossum, membri ai echipajelor internaţionale cu numerele 27-28, are în calitate de coloană sonoră piesa lui Peter Gabriel „Down to Earth”. De remarcat că actualmente pe SOI activează  echipajul cu numărul 30.

Continuă lectura

Circa 100 de străzi în Paris poartă denumiri de matematicieni

Călătoriile în Paris sunt de neuitat pentru oricine. Nu sunt o excepţie şi eu. Ieşisem din Notre-Dame de Paris, şi după ce am trecut podul peste Sena am nimerit pe neaşteptate pe strada Lagrange. Nu ştiam de existenţa străzii Lagrange şi faptul că era chiar în centrul Parisului m-a impresionat mult. De fapt, exista şi o explicaţie suplimentară a acelei impresii. Aveam comunicare la „Conférence de la SMAI sur l’Optimisation et la Décision” în Institut Henri Poincaré în care expuneam aplicarea metodei factorilor Lagrange la rezolvarea problemelor de aflare a echilibrelor Nash în jocurile strategice. La începutul străzii Lagrange, chiar pe malul Senei, se află şi scuarul Lagrange, cu flori, havuz şi diverse sculputri. Deplasându-mă prin Cartierul Latin, spre locul desfăşurării conferinţei, am parcurs şi alte străzi cu denumiri de iluştri matematicieni. Punctul culminant a fost lângă Pantheon. Pe frontispiciul Bibliotecii Sainte-Geneviève, chiar vizavi de Panthéon (în care se odihnesc osemintele celor mai mari personalităţi franceze) am găsit numele lui Dimitrie (Demetrius) Cantemir, alături de numele lui Isac Newton, dar şi a altor mari savanţi din toate timpurile.

Marii savanţii sunt veneraţi pe măsura aportului lor nu numai în Paris, dar şi în alte oraşe ale lumii. Poate mai puţin la noi. Mi-i interesant să găsesc stima faţa de marii matematicieni poate şi din cauza că nu întotdeauna meritele lor pot fi apreciate de oamenii simpli din simplul motivul că se cere o pregătire specială.

Pe 25 iulie, pe Twitter a fost postat de către @TutorChamp un link la un articol foarte interesant din perspectiva celor subliniate mai sus:  Mathematicians with Paris streets named after them. Găsesc informaţia oferită ca foarte interesantă şi prezint în continuare o „adaptare” a articolului  în limba română.

În Paris sunt circa 100 de străzi, bulevarde, scuaruri etc. care poartă nume de matematicieni, majoritatea dintre ei fiind, desigur, francezi, dar nu toţi. Spre exemplu, există un loc pe Avenue Marceaux (la circa 300 de metri de Arcul de Triumf) ]n care se „unesc” străzile: Newton, Galileo şi Euler. E surprinzător că în Paris nu există strada Fourier (în Auxerre, strada unde marele matematician s-a născut, îi poartă numele).

În lista ce urmează, prin clic asupra numelui se va accesa biografia în engleză, prin clic asupra literelor W, M sau G se va accesa, respectiv, articolul din Wikipedia, istoria străzii corespunzătoare de pe site-ul Web al Mairie de Paris şi locul străzii în Paris pe Google Map. Reamintesc, că oraşul Paris este împărţit în douăzeci de arondismente municipale administrative, numite simplu arondismente (se pronunţă [aʁɔdismɑ]). Infra, în paranteze este indicat arrondismentul în care e situată strada.

A

Rue Abel (12th Arrondissement) W M G

Rue Ampère (17th Arrondissement) M G

Avenue Paul Appell (14th Arrondissement) M G

Boulevard Arago (13th Arrondissement) W M G

Jardins Arago (13th Arrondissement)

Square Arago (13th Arrondissement) M G

Rue Antoine Arnauld (13th Arrondissement) W M G

Square Antoine Arnauld (13th Arrondissement) M G

B

Rue Bernoulli (family!) ( 8th Arrondissement) W M G

Rue Bezout (14th Arrondissement) M G

Cité Bienaymé (18th Arrondissement)

Rue Biot (17th Arrondissement) M G

Rue Borda ( 3rd Arrondissement) M G

Rue Émile Borel (17th Arrondissement) M G

Square Borel (17th Arrondissement)

Rue Charles Bossut (12th Arrondissement) M G

Rue de Broglie (13th Arrondissement) M G

Rue Buffon ( 5th Arrondissement) W M G

C

Avenue Carnot (Lazare) (17th Arrondissement) M G

Boulevard Carnot (Lazare) (12th Arrondissement) W M G

Villa Sadi Carnot (19th Arrondissement) M G

Rue Cassini (14th Arrondissement) W M G

Rue Cauchy (15th Arrondissement) W M G

Rue Michel Chasles (12th Arrondissement) M G

Rue Nicolas Chuquet (17th Arrondissement) M G

Rue Clairaut (17th Arrondissement) M G

Rue Clapeyron ( 8th Arrondissement) W M G

Cité Condorcet ( 9th Arrondissement) M G

Rue Condorcet ( 9th Arrondissement) M G

Rue Coriolis ( 8th Arrondissement) W M G

Rue Cournot (15th Arrondissement) W M G

D

Rue d’Alembert (14th Arrondissement) M G

Rue Gaston Darboux (18th Arrondissement) M G

Rue Delambre (14th Arrondissement) W M G

Square Delambre (14th Arrondissement) M G

Rue Deparcieux (14th Arrondissement) M G

Rue de Prony (17th Arrondissement) W M G

Rue Desargues (11th Arrondissement) M G

Rue Descartes ( 5th Arrondissement) W M G

E

Rue Esclangon (18th Arrondissement) M G

Rue Euler ( 8th Arrondissement) W M G

F

Passage Fermat (14th Arrondissement) M G

Rue Fermat (14th Arrondissement) M G

Rue Foucault (16th Arrondissement) M G

Rue Francoeur (18th Arrondissement) W M G

Rue Fresnel (16th Arrondissement) M G

G

Rue Galilée (= Galileo) (16th Arrondissement) W M G

Rue Évariste Galois (20th Arrondissement) M G

Rue Gassendi (14th Arrondissement) M G

Rue Sophie Germain (14th Arrondissement) M G

H

Rue Charles Hermite (18th Arrondissement) M G

Square Charles Hermite (18th Arrondissement)

Rue Huygens (14th Arrondissement) M G

L

Rue La Condamine (17th Arrondissement) W M G

Rue Lagrange ( 5th Arrondissement) W M G

Rue Gabriel Lamé (12th Arrondissement) M G

Rue Laplace ( 5th Arrondissement) W M G

Rue Le Verrier ( 6th Arrondissement) M G

Passage Legendre (17th Arrondissement) M G

Rue Legendre (17th Arrondissement) M G

Rue Leibniz (18th Arrondissement) M G

Square Leibniz (18th Arrondissement) M G

Rue Léonard de Vinci (16th Arrondissement) M G

Rue Joseph Liouville (15th Arrondissement) W M G

M

Rue Malebranche (5th Arrondissement) W M G

Rue Malus ( 5th Arrondissement) W M G

Place Monge ( 5th Arrondissement) W M G

Rue Monge ( 5th Arrondissement) W M G

Square Jean Morin (12th Arrondissement)

N

Rue Navier (17th Arrondissement) M G

Rue Newton (16th Arrondissement) M G

P

Place Paul Painlevé ( 5th Arrondissement) W M G

Rue Papin ( 3rd Arrondissement) M G

Rue Pascal (Blaise) (5/13 Arrondissement) M G

Rue Henri Poincaré (20th Arrondissement) M G

Rue Poinsot (14th Arrondissement) M G

Rue Denis Poisson (17th Arrondissement) M G

Passage Poncelet (17th Arrondissement) M G

Rue Poncelet (17th Arrondissement) M G

R

Rue Roberval (17th Arrondissement) M G

S

Rue Serret (15th Arrondissement) W M G

T

Rue Tisserand (15th Arrondissement) W M G

Rue Torricelli (17th Arrondissement) M G

V

Rue Vernier (17th Arrondissement) M G

Rue Viète (17th Arrondissement) M G

Ne vom putea cândva lăuda şi noi cu asemenea exemple de preţuire a meritelor precursilor? Vreau să cred că da…

Ghineologia, ghineologii de pe Bâc şi teoria jocurilor

Pe malurile tulburelului şi necristalinului Bâc jocurile politice sunt în toi. Jocuri cu specific local şi culminare relativă pe 5 iunie, când urmează să se desfăşoare scrutinul chişinăuian pentru funcţia de primar. Slavă Domnului, Chişinăul a avut în decurs de 4 ani primar ales, spre deosebire de republică, ce aşteaptă mai mult de 2 ani să fie ales preşedintele. Băieţandrul de acum 4 ani a prins la puteri şi scăpând de beleaua comunistă, care îi producea mâncărime permanentă, a reuşit să realizeze câte ceva: n-a mai fost arestat de Anul Nou bradul, a dispărut mirosul neplăcut de la staţia de epurare a apelor, au apărut troleibuze noi, cercetate cu interes şi chiar uimire de orăşeni – sunt oare reale?… Totuşi, chiar dacă e cald afară, orăşenii nu uită de facturile care au venit iarna pentru căldură. Iar Dumnezeu a trimis de curând în capitală o ploaie de vară, să reamintească starea dezastruoasă a drumurilor şi canalizaţiei din Chişinău – ploaia a inundat, cu părere de rău, mai multe case şi a „înecat” din nou Gara Feroviară…

Lumea, în mod normal, mai spune şi câte un cuvânt de „ghine” despre activitatea actualei Primării, dar şi mai mult înjură clasa politică, clasa nesăţioşilor care văd „ghinele” în propria activitate – pentru sine şi cei alăturaţi lor şi mai puţin sau deloc pentru alegătorii simpli.

Mai serios, mai puţin serios, ceea ce se întâmplă în Chişinău se aseamănă mult cu o licitaţie… Cum?

Păi se vinde… Primăria Capitalei – care în alegeri constituie o sumă de voturi ale alegătorilor! Pare aiureală! E doar aparent aiureală! Real, cumpărători sunt partidele politice, iar vânzători – alegătorii. Partidele propun preţuri folosind ca valută promisiunile! Alegătorii vând Primăria oferind-o celor care promit mai mult! Un soi de ghineologie„ştiinţă” autohtonă de a promite ghine, care apoi intră pe gât celor care îl cred. Nu căutaţi în Internet acest cuvânt! Veţi găsi doar unul asemănător – ginecologie. Se aseamănă, nu numai prin transcripţie şi pronunţare, unii pot exagera – că şi prin obiectele de studiu… Totuşi… Dacă ultima este o ştiinţă şi practică serioasă, la ai cărei specialişti lumea doreşte să nu ajungă, dar la care apelează cu recunoştinţă când e nevoie, ghineologia e o escrocherie, practicată de şarlatani. Ce nu fac ei în alegeri? Joacă fotbal, volei, aleargă, strâng gunoaie prin parcuri, cântă, spun poezii, se fotografiază solitar, în grupuri de doi, trei şi mai mulţi, se filmează, mai dau câte un ban celor nevoiaşi, mai fac spectacole pe la posturi de televiziune, mai scriu pe bloguri… Au imaginaţie, frate, nu şagă! Şi au pentru ce, că scăpând la troacă, recuperează înzecit tot ce au cheltuit…

În iulie 1994, într-un hotel din Washington, se desfăşura o licitaţie neobişnuită… Nu se vindeau tablouri, monede rare, obiecte de artă, furnitură antică. Se licita o fâşie din spectrul electromagnetic pentru noua generaţie de telefoane mobile, page-re şi alte dispozitive de comunicare. Până la acel moment, Guvernul American nu vându-se vreodată ceva asemănător şi nimeni nu putea spune ce se va întâmpla. Comisia Federală de Comunicaţii (CFC) prognoza rezultatul pentru tot spectrul la 10 miliarde de dolari SUA, dar liderii din industria telecomunicaţiilor au luat în derâdere ideea că ar putea achita o sumă apropiată de cea enunţată.

Când licitaţia a fost lansată, preţurile au început să crească cu zeci de milioane de dolari pe oră. „Era un sentiment de parcă am fi jucat în pocher milioane de dolari” – îşi împărtăşea ulterior impresiile John McMillan, matematician/economist şi specialist în teoria licitaţiilor/jocurilor de la Universitatea Stanford, care a ajutat CFC să organizeze licitaţia. Doar acea primă licitaţie a adus un câştig de 617 milioane de dolari SUA, numai pentru 10 mici licenţe. Următoarea licitaţie din decembrie al aceluiaşi an a adus un câştig de peste 7 miliarde dolari SUA, bâtând toate recordurile de vânzare a bunurilor publice. La începutul anului 2001, câştigurile din vânzarea frecvenţelor erau deja de 42 de miliarde de dolari SUA, urmând să mai fie vându-te încă mii de alte licenţe disponibile.

Lucrurile ar fi putut să aibă altă turnură dacă Guvernul American n-ar fi realizat eforturi serioase în elaborarea regulilor de licitare şi plată. Construirea regulilor a fost o problemă de mare complexitate. CFC a divizat tot spectrul în mii de licenţe. Trebuiau ele toate vândute concomitent ori separat fiecare? Trebuiau colectate cererile şi examinate concomitent, ori să se vândă la licitaţie? Trebuiau alcătuite reguli care să garanteze că licenţele vor ajunge la firmele care le vor folosi rapid şi eficient? Trebuiau excluse posibilităţile de aranjamente între cei ce cumpără pentru a menţine preţuri mici?

Toate aceste întrebări au fost adresate matematicienilor – experţi în teoria jocurilor, care au schiţat strategiile ce urmau să funcţioneze mai bine în condiţii de competitivitate…

Matematicienii, specialişti în teoria jocurilor, s-au isprăvit de minune cu toate dificultăţile unor asemenea probleme practice. Fondatorii teoriei jocurilor nu puteau să-şi imagineze vreodată, că la finele anului 2001 elaborările lor vor aduce câştiguri fabuloase, mai mari de 100 de miliarde de dolari SUA în întreaga lume, doar la aplicarea tezelor teoretice în domeniul licitaţiilor. Teoria jocurilor, care se năştea în anii 1920, ca cercetare a jocului de pocher, a devenit nu numai o ştiinţă cu 9 laureaţi ai Premiului Nobel pentru Economie, dar şi un mare business.

E un citat din articolul: “The Bidding Game”, written by science writer Erica Klarreich with the assistance of Drs. Kenneth Arrow, Robert Aumann, John McMillan, Paul Milgrom, Roger Myerson, and Thomas Schelling for Beyond Discovery®: The Path from Research to Human Benefit, a project of the National Academy of Sciences.

M-am referit la acest articol doar pentru a sublinia că la rezolvarea serioasă a lucrurilor se apelează la specialişti (în situaţia descrisă – la cei din teoria jocurilor). Nu e cazul la noi. Nu reuşeşte barem o reformă în domeniul justiţiei, nemaivorbind de o aplicare serioasă de cercetări ştiinţifice. Veţi spune că nu avem specialişti în asemenea domenii! Nu e adevărat! Avem specialişti! Şi buni! Doar că şi în domeniul ştiinţei domină o situaţie asemănătoare cu cea din societate, la general – ştiinţa e dominată de corupţie şi dacă s-ar aloca bani pentru cercetări serioase/ştiinţifice, ar ajunge la mâncăii care stau de zeci de ani „de strajă la hotarele” finanţării „ştiinţifice”.

Exemplul prezentat ilustrează elocvent de ce e atâta bătaie cu reforma justiţiei! Nu e vorba doar de putere! E vorba de sume fabuloase de bani, care pot fi câştigate dictând într-un fel sau altul regulile de joc.

Să participăm ori nu la alegeri? Odată ce suntem alegători, suntem deja jucători ai jocului numit alegeri. Neprezentarea la urna de vot, e doar una dintre posibilele strategii… Fiecare trebuie să aleagă cea mai bună strategie pentru sine şi pentru întreaga societate.

Şi viaţa, şi alegerile sunt jocuri – să nu ne ratăm şansa din ele!

Healthline BodyMaps

Azi, în Internet a apărut un nou instrument de căutare interactivă vizuală ce asigură explorarea corpului uman în 3D – Healthline BodyMaps. Se navighează simplu la nivelul diverselor straturi ale anatomiei umane. Poate fi vizualizat corpul, precum şi organele lui, până la cele mai mici detalii. Instrumentul oferă posibilitatea să se înţeleagă aprofundat funcţionarea corpului uman şi vine ca un răspuns concurenţial cunoscutei Google Body, comparativ cu care asigură noi facilităţi utilizatorilor, cum ar fi informaţiile referitoare la diverse boli etc.

Instrumentul Healthline BodyMaps este realizat în baza tehnologiei Flash de către companiile: Healthline Networks – specializată în oferirea informaţiei medicinale online, şi GE Healthyimagination – specializată în programe şi proiecte educaţionale în domeniul ocrotirii sănătăţii.

Aplicaţia funcţionează în orice browser după instalarea Flash Player-ului.

Modele economico-matematice celebre

E cunoscut că Premiul Nobel nu se oferă pentru cercetări în domeniul matematicii. Totuşi, de-a lungul anilor mai mulţi matematicieni au fost distinşi cu acest premiu, pentru aplicarea matematicii în alte domenii. Leonid Kantorovich este unul dintre matematicienii căruia i-a fost decernat Premiul Nobel în 1975, împreună cu Tjalling Koopmans, „Pentru contribuţia acestora la teoria folosirii optimale a resurselor”. Precum am menţionat în articolul „Iniţiere în programarea matematică” denumirea de programare matematică provine de la primele cercetări legate de elaborarea prin metode matematice a programelor optime de activitate a agenţilor economici în baza modelelor matematice. Prezint în continuare câteva exemple de situaţii/fenomene economice, devenite deja clasice, pentru care se construiesc modele matematice – probleme de programare matematică.

Problema repartizării eficiente a resurselor limitate

Această problemă e numită şi problemă a asortimentului optim, şi problemă a planificării producţiei. Pentru claritate se consideră la început un exemplu.

Exemplul 1 (problemă liniară). Întreprinderea produce garnituri de mobilă de două tipuri. Producerea unui număr cât mai mare de garnituri e limitată de resursele disponibile de scândură calitativă şi de timpul prelucrării ei cu ajutorul unor maşini automate. Se ştie că la producerea unei garnituri de tipul întâi se utilizează 4 m3 de scândură, iar de tipul doi 5 m3, timpul de prelucrare la maşinile automate a scândurii utilizate pentru o garnitură de fiecare tip fiind egal, corespunzător, cu 15 min şi 30 min. Săptămânal  întreprinderea  dispune de 2100 m3 de scândură, iar maşinile automate pot lucra  în total nu mai mult de 150 de ore.

Câte garnituri de mobilă  de fiecare tip trebuie să producă săptămânal  întreprinderea cu scopul de a maximiza beneficiul total, dacă beneficiul de la comercializarea unei garnituri de fiecare tip  este egal, respectiv, cu 21 unităţi monetare (u.m.) şi 40 u.m?

Introducem notaţiile: x1, x2 – numărul de garnituri de tipurile 1, 2, produse săptămânal. E clar că beneficiul săptămânal de la comercializarea mobilei va fi

f(x)=21 x1 + 40 x2.__________(1)

Restricţiile pentru resurse sunt:

4 x1 +5 x2 2100,__________(2)
1/4 x1 + 1/2 x2 150,_______(3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0._____________(4)

Pproblema de programare matematică obţinută cere maximizarea beneficiului (1)  în restricţiile (2)-(4). Situaţia din exemplul 1 poate fi generalizată.

Întreprinderea produce n tipuri de produse, utilizând pentru aceasta  m tipuri de resurse (capital, materii prime, forţă de muncă, timp etc.). Cantitatea de resursă i disponibilă  în decursul perioadei examinate de timp (săptămână, lună, an ec.) este egală cu bi, (i=1,…,m). E cunoscut că la fabricarea unei unităţi de produs j  întreprinderea utilizează aij unităţi de resursă i (i=1,…,m, j=1,…,n), iar beneficiul obţinut de la valorificarea unei unităţi de produs j este egal cu cj (j=1,…,n) unităţi monetare.

Să se determine cantităţile de produse ce urmează a fi fabricate  în perioada de timp dată,  încât beneficiul total să fie maxim.

Dacă notăm cu xj (j=1,…,n) cantitatea de produs j fabricat pe parcursul  întregii perioade de timp, atunci f(x)=c1x1+c2x2 +…+cnxn este beneficiul total obţinut de la valorificarea asortimentului x1, x2, …, xn;
ai1x1+ai2x2 +…+ainxn este cantitatea de resursă i utilizată la producerea asortimentului x1, x2, …, xn, cantitate ce nu poate depăşi bi.

În aceste notaţii, problema iniţială, numită problemă de repartizare eficientă a resurselor limitate, poate fi scrisă:

f(x)=c1x1+c2x2 +…+cnxn → max,_______(5)
ai1x1+ai2x2 +…+ainxn bi, i=1,…,m,____(6)
xj ≥ 0, j=1,…,n.______________________(7)

Remarcă. În afară de restricţiile pentru resurse,  în condiţiile problemei şi, respectiv, în modelul ei matematic mai pot fi restricţii de sortiment, de completare etc.

Menţionăm că (5)-(7) este o problemă de programare liniară. Dacă introducem notaţiile:

x=( x1, x2, …, xn)T,
c=( c1, c2, …, cn)T,
b=( b1, b2, …, bm)T,
A= [aij ]i = 1,…m; j = 1,…,n

atunci (5)-(7) poate fi scrisă şi în formă matriceală:

f(x)=cT x → max,
Ax ≤ b,
x ≥ 0.

Problema dietei

Mai are şi denumirile: problema nutriţiei, problema  meniului optim, problema amestecului.

Din considerente de sănătate orice fiinţă trebuie să consume zilnic necesarul biologic constituit din cantităţi minime de anumite substanţe/principii nutritive: proteine, vitamine, glucide, hidrocarburi etc., care se conţin în anumite cantităţi în diferite produse alimentare. Problema dietei constă în asigurarea necesarului biologic cu cheltuieli minime.

Fie:

n – numărul de produse alimentare;
m – numărul de principii nutritive;
bi – cantitatea de principiu nutritiv i ce intră în necesarul biologic (i=1,…,m);
aij – cantitatea de principiu nutritiv i ce se conţine într-o unitate de produs j, (i=1,…,m, j=1,…,n);
cj – costul unei unităţi
de produs alimentar j,( j=1,…,n);
xj – cantitatea de produs alimentar j, (j=1,…,n), care urmează să fie întrebuinţat zilnic.

În notaţiile de mai sus, modelul matematic al problemei dietei are forma:

f(x)=c1x1+c2x2 +…+cnxnmin,_______(8)
ai1x1+ai2x2 +…+ainxn bi, i=1,…,m,____(9)
x 0, j=1,…,n. _____________________(10)

Dacă utilizăm notaţiile matriceale, atunci (8)-(10) se scrie:

f(x)=cT x → min,
Ax ≥ b,
x ≥ 0.

Problema de transport

Marfa omogenă, stocată în m depozite în cantităţile a1, a2,…, am, urmează a fi transportată la n consumatori care solicită cantităţile b1, b2,…, bn, corespunzător. Se presupune că disponibilul total este egal cu cererea totală. Fiind cunoscute tarifele de transport cij, (i=1,…,m, j=1,…,n), să se determine planul de transport care asigură cheltuieli minime.

Dacă notăm cu xij cantitatea de marfă ce urmează a fi transportată de la depozitul i la consumatorul j, atunci:

xi1+xi2+…+xin reprezintă volumul de marfă ce urmează a fi transportată de la depozitul i tuturor consumatorilor;
x1j+x2j+…+xmj reprezintă volumul de marfă ce urmează a fi primită de consumatorul j de la toate depozitele;
c11 x11+c12 x12+…+c1n x1n + c21 x21+…+cmn xmn reprezintă cheltuielile totale necesare pentru realizarea planului de transport xij (i=1,…,m, j=1,…,n).

În asemenea notaţii, problema de transport ia forma:

f(x)= c11 x11+c12 x12+…+c1n x1n + c21 x21+…+cmn xmn → min,___(11)
xi1+xi2+…+xin = ai,  i=1,…,m,_______________________________(12)
x1j+x2j+…+xmj = bj, j=1,…,n,________________________________(13)
xij ≥ 0,  i=1,…,m, j=1,…,n. ___________________________________(11)

Dacă notăm:

C= [cij ]i = 1,…m; j = 1,…,n
_____??| I O … O |
_____??| O I … O |
Amxn = |     …     |
______?| O O … I |
______?| E E … E |

unde

I = (1, 1,…, 1),
O = (0, 0,…, 0),
Enxn – matrice unitate,
x = (x11, x12,…, x1n, x21, x22, …, xmn)T,
c = (c11, c12,…, c1n, c21, c22, …, cmn)T,
b = (a1, a2,…, am, b1, b2, …, bn)T,

atunci (11)-(13) se scrie şi sub formă matriceală:

f(x)=cT x → min,
Ax = b,
x ≥ 0.

Exemplul 2 (problemă neliniară). Întreprinderea produce recipiente cilindrice de volum unitar din materie primă costisitoare (foi metalice). Pentru a asigura cheltuieli minime, se cer determinate dimensiunile recipientului de acelaşi volum unitar, dar de suprafaţă minimă.

Dacă notăm: r – raza bazei, h – înălţimea recipientului, atunci obţinem următorul model:

s(r, h) = 2πr2 + 2πrh → min,____(14)
πr2h = 1,__________________(15)
r, h ≥ 0.____________________(16)

Problema (14)-(16)  poate fi rezolvată cu uşurinţă.  Într-adevăr, din (15) reiese că h=1/(πr2). Înlocuind această expresie pentru h în (14), obţinem o funcţie de o singură variabilă s(r, h)=s(r)=2πr2+2πr/(πr2)=  2(πr2+ 1/r) şi o problemă de optimizare necondiţionată. E cunoscut că în punctele de optim derivata funcţiei în raport cu r trebuie să fie nulă. Deci, punctele critice ale funcţiei sunt soluţii ale ecuaţiei: s′(r)=4πr – 2/r2=0. De unde, r*=3√( 1/(2π)).

Se observă că pentru valorile variabilei r mai mici decât r* derivata este negativă, iar pentru valori mai mari decât r* este pozitivă. Rezultă că r* este punct de minim şi dacă revenind la problema  iniţială obţinem soluţia optimă:
r* =3√ (1/( 2π));  h* =3√  (4/π); s* = 3 3√ (2π).

De reţinut că exemplul 2 a fost rezolvat prin metode tradiţionale, bine cunoscute din analiza matematică. Se observă însă că acelaşi procedeu nu poate fi utilizat la rezolvarea nici a exemplului 1, nici a celorlalte probleme de programare liniară construite în acest paragraf.  Într-adevăr, deoarece funcţia obiectiv este liniară, fiecare dintre derivatele parţiale este egală cu coeficientul respectivei variabile,  adică valoarea derivatei este constantă. Ar fi o trivialitate ca toţi coeficienţii funcţiei obiectiv să fie egali cu zero concomitent.

Deci în interiorul domeniului de puncte admisibile optimuri nu pot fi. Ele se pot afla doar pe frontieră. Punctele frontierei, în schimb, nu pot fi explorate, deoarece derivatele sunt constante. Aşadar, soluţionarea problemelor de programare liniară necesită metode speciale.

Solicită metode speciale şi alte probleme.  În calitate de exemplu poate servi următoarea problemă, formulată pentru prima dată de profesorul Universităţii California Harry Markowitz, laureat al premiului Nobel în economie în anul 1990 împreună cu Merton
Miller
şi William Sharpe „pentru lucrul de pionierat în teoria economiei financiare”.

Problema portofoliului de investiţii.

La bursa de valori se vând n tipuri de acţiuni. Conform datelor unui eşantion de volum nl (l – numărul de luni cuprinse de sondaj) în luna k acţiunile de tipul j au adus un venit de pj(k) procente. Se aşteaptă că fiecare acţiune de tipul j va aduce în medie un venit de pj procente.

În baza datelor de eşantion se calculează matricea de covariaţie a veniturilor  C=[cij ]i,j=1,…,n.

Agentul economic planifică o investiţie în hârtii de valoare a unei anumite sume de bani, proporţiile de procurare dorind să le aleagă în aşa mod încât să-şi asigure un venit maxim la un risc minim.

Dacă notăm cu xj partea din activ investită în acţiunile de tipul j, atunci ∑j=1n pj xj reprezintă venitul aşteptat de la portofoliul x1, …, xn, iar ∑j=1ncij xi xj reprezintă valoarea riscului.

Problema respectivă de programare matematică se formulează în felul următor:

j=1n pj xj → max,________(17)
i=1nj=1ncij xi xj → min,__(18)
j=1n xj = 1,_____________(19)
xj ≥ 0, j=1,…,n.___________(20)

(17)-(18) reflectă scopurile investorului: maximizarea venitului (17) şi minimizarea riscului (18). Portofoliul x1, … , xn de hârtii de valoare e considerat eficient dacă nu există alte portofolii cu venit mai mare şi risc mai mic, cu venit mai mare şi acelaşi risc sau cu risc mai mic şi acelaşi venit.

Problemele de atare tip, în care se optimizează concomitent valorile ale mai multor funcţii obiectiv, se numesc probleme de optimizare multicriterială. Se înţelege că ele solicită şi tratări speciale.

În încheiere vom menţiona  că necesităţile de metode netradiţionale de soluţionare şi de noi abordări teoretice sunt dictate, în mare măsură, şi de complexitatea domeniului. Ca o confirmare a acestei afirmaţii ne poate servi faptul că multe dintre problemele bine cunoscute şi unanim recunoscute ca „pietre unghiulare” în matematică se formulează şi se cercetează în cadrul programării matematice.

Teorema lui Pierre Fermat, datată din 1637, despre imposibilitatea rezolvării în numere întregi a ecuaţiei:

xn + yn =zn,

unde n ≥ 3, demonstrată (pe 150 de pagini) abia în 1994 de către Andrew Wiles, profesor al Universităţii Princeton, este echivalentă cu următoarea problemă de programare matematică:

(xn + yn – zn)2 + M (1 – cos 2πx)2 + M (1 – cos 2πy)2 + M (1 – cos 2πz)2 + M (1 – cos 2πn)2 → min,

n ≥ 3,  x, y, z ≥ 1, M » 0 este un coeficient de penalizare.

O eventuală enumerare a tuturor problemelor de aşa natură practic e imposibilă. Totuşi atât problemele de mai sus, precum şi altele cum sunt problema satisfiabilităţii formelor booleene din logica matematică, problema izomorfismului a două grafe din teoria grafelor etc., probleme care se formulează şi se cercetează ca probleme de programare matematică, sunt o dovadă în plus a importanţei programării matematice şi a conexiunii ei cu domeniile contemporane de cercetări şi aplicaţii.

Sursa: V. Ungureanu, Programarea Matematică, Chişinău, USM, 2001.

http://www.youtube.com/p/80F23997E5B90250?hl=en_US&fs=1

Iniţiere în programarea matematică

„Deoarece edificiul omenirii e înălţat de Preaînţeleptul Creator,
în lume nu se întâmplă nimic în ce nu s-ar vedea sensul unui
maxim sau minim… „

Leonhard Euler

În semestrul doi se predă cursul de metode de optimizare – un curs interesant atât din perspectiva teoretică, cât şi din cele practice şi informatice. Articolul se adresează, în primul rând, studenţilor.

Probleme de optimizare şi soluţii

Programarea matematică, numită în sens larg şi teoria optimizării, e ramura matematicii ce se ocupă de studierea problemelor de optimizare şi de elaborarea metodelor de soluţionare a lor. E strâns legată de teoria şi practica luării deciziilor şi are aplicaţii în cele mai variate domenii ale vieţii.

Ce se înţelege prin noţiunea de problemă de optimizare? Esenţa ei devine clară dacă reamintim că românescul optim provine de la latinescul „optimus” – superlativ al lui „bonus” (bun) – semnificând  nu altceva decât cel mai bun. O problemă de optimizare cere selectarea alcătuirea/construirea/găsirea celei mai bune variante dintr-o mulţime de alternative. În acest sens, natura ce ne înconjoară abundă în probleme de optimizare pe care le rezolvă prin nenumărate „experienţe”, uneori în decurs de milioane de ani.

Referindu-ne la activitatea umană, vom sublinia că însăşi natura omului presupune de la sine o tendinţă spre optim, spre perfecţiune, iar în artă – spre ideal, sublim şi armonie. Omul se străduieşte să creeze nu pur şi simplu obiecte uzuale, ci obiecte bune, foarte bune, desăvârşite, perfecte. În nenumărate situaţii el încearcă  să realizeze caracteristici optime – de profitabilitate, de rentabilitate, de volum, de eficienţă etc. Totuşi spre deosebire de natură, omul nu acţionează orbeşte,  făcând nenumărate experienţe în timp nelimitat. Homo Sapiens, pentru a realiza optimul, foloseşte capacităţile sale intelectuale: analizează, meditează, inventează, experimentează, modelează etc., operând de cele mai dese ori nu cu obiectul real (ce ar determina nenumărate cheltuieli, îndeosebi în economie), ci cu un careva model: machet, prototip, model matematic, desen etc. Caracteristica esenţială a activităţii umane în calea spre optim, spre perfecţiune constă în utilizarea unui model cu ajutorul căruia se verifică diferitele proprietăţi şi caracteristici ale obiectului (situaţiei, fenomenului, procesului, sistemului) real cu scopul de a le determina pe cele mai bune.

Problemele de optimizare pot fi interpretate/tratate şi ca modele matematice ale unor probleme reale care apar în variate domenii: economie, ştiinţă, medicină etc. Ele includ în sine modelul obiectului/procesului/fenomenului real – o consecutivitate de axiome, reguli, relaţii logice, algoritmi etc. – care reflectă proprietăţile, caracteristicile şi relaţiile existente între parametrii, mărimile constante şi variabile ale obiectului de optimizat, precum şi criteriul sau criteriile conform cărora se apreciază soluţiile admisibile ale problemei, dintre care şi se selectează cea optimă.

Problema construirii modelului matematic ţine de modelarea matematică (domeniu distinct) şi, mai puţin, de programarea matematică. Modelarea matematic[ elucidează dependenţa ce există între mărimile z, x1,…,xn, ale obiectului real şi, ca o relaţie de forma G(z, x1,…,xn)=0 (z şi G pot fi mărimi vectoriale), variabilele z,  x1,…,xn, fiind legate printr-o funcţie implicită. Adeseori variabila z poate fi scrisă şi ca funcţie explicită sub forma z=g(x1,…,xn).

În general, o problemă de optimizare se scrie formal (matematic) astfel:

f(x) –> max, xX,

şi se citeşte: de ales din mulţimea de soluţii admisibile X soluţia optimă x* cu cea mai mare valoare a funcţiei obiectiv f(x).

Problema de optimizare e numită problemă de programare matematică (program matematic) dacă are forma:

f(x) –> max,_____________ (1)

gi(x) ≤ 0, i=1,…,l,__________(2)

gi(x) = 0, i=l+1,…,m,_______ (3)

x ∈ D ⊆ Rn,______________ (4)

unde f(x) şi gi(x) sunt funcţii de vectorul x ∈ Rn.

Problema (1)-(4) se citeşte: dintre punctele x ∈ Rn care satisfac relaţiile (2)-(4) să se aleagă punctul optim x* pentru care funcţia obiectiv (1) are cea mai mare valoare fmax=f*=f(x*).

Relaţiile (2)–(4) se numesc restricţii ale problemei. Relaţiile (4) se mai numesc condiţii de admisibilitate sau restricţii directe.

Mulţimea de puncte x ∈ Rn care satisfac restricţiile (2)-(4) formează mulţimea de puncte (soluţii) admisibile şi, de regulă, se notează prin X. Aşadar, orice punct x X e numit punct admisibil (soluţie admisibilă). Punctele admisibile reprezintă variantele (alternativele) dintre care se alege cea mai bună. În calitate de criteriu de apreciere a variantelor serveşte funcţia obiectiv, cea mai mare valoare a ei realizându-se pe soluţia optimă.

Problema (1)-(4) se mai scrie şi sub forma:

maxx∈X f(x) = max{ f(x) | gi(x) ≤ 0, i=1,…,l}, gi(x) = 0, i=l+1,…,m}, x ∈ D Rn}.

Vom menţiona că orice problemă de determinare a valorii maxime a funcţiei f(x) poate fi scrisă ca problemă de determinare a valorii minime a funcţiei -f(x), deoarece maxx∈X f(x) = – minxX -f(x) pentru orice mulţime X.

Punctul x* X este punct de maxim global dacă

f(x*) f(x), __________(5)

pentru orice x∈ X.

Punctul x* X este punct de maxim local dacă există un ε > 0, astfel că se verifică (5) pentru orice x∈ X ∩ Vε(x*), unde Vε(x*) este un glob deschis de rază ε cu centrul în punctul x*, numit  ε-vecinătate a punctului x*.

Punctele de minim,
local şi global, se definesc în mod analogic, inversând doar sensul inegalităţii (5).

Punctele de maxim şi minim, global şi local, sunt numite: puncte sau soluţii optime, puncte sau soluţii de extrem.

Inegalităţile stricte în (5) definesc punctele de maxim (minim) strict.

Remarca 1. Orice punct de optim global este şi punct de optim local. Nu orice punct de optim local este şi punct de optim global.

Remarca 2. Dacă există un punct de optim global, atunci există cel puţin un punct de optim local. Evident, sunt probleme care au soluţii locale, dar nu au soluţii globale.

Maxima  f*=supxX f(x) e numită şi valoare a problemei (1)-(4) .

Pot exista următoarele situaţii:

I. f* < +∞  şi există x*∈ X pentru care f*=f(x*);

II. f* < +∞  şi nu există x*∈ X pentru care f*=f(x*);

III. f* =+∞.

Vom spune că problema (1)-(4)  are soluţie optimă dacă are loc situaţia I. Problema (1)–(4) nu are soluţie dacă X= ∅, sau dacă are loc una dintre situaţiile II, III. În situaţia II valoarea problemei nu se realizează, iar în situaţia III valoarea nu este mărginită.

Conform celor expuse, problemele de optimizare pot fi globale şi locale. O altă clasificare a lor se face în corespundere cu proprietăţile funcţiilor componente şi proprietăţile mulţimii D, deosebind probleme de optimizare: necondiţionată, liniară, pătratică, convexă, concavă, discretă, combinatorie etc. De regulă, tipul problemei cercetate se menţionează  de fiecare dată când  există necesitatea.

Termenul/denumirea de programare matematică a fost introdus de către George Dantzig în anii 40 ai secolului XX, referindu-se la modelele folosite de către americani pentru a micşora cheltuielile de război, folosind diverse programe de aprovizionare a armatei amerticane.

Metode de optimizare

Referindu-ne la metodele de soluţionare, vom menţiona că în programarea matematică nu există metode universale de soluţionare. În funcţie de tipul problemei cercetate se alege şi metoda de rezolvare, care poate fi: exactă sau aproximativă, analitică sau numerică, locală sau globală, deterministică sau stochastică, strict fundamentată sau euristică etc.

O clasă importantă de metode pe larg utilizate în practică o formează metodele iterative. Ele determină soluţia optimă x* sau aproximarea ei prin parcuregerea unui şir convergent (către x*) de aproximaţii: x0, x1, …, xk, … fiecare element al căruia se calculează în baza elementului (elementelor) precedent după o regulă prestabilită xk=F(xk-1), k=1,2,…,  în care: x0 este soluţia iniţială (de start); F – o funcţie dată, în general, sub forma unui set de reguli, procedee şi algoritmi, fiecare element al setului (la fel ca şi realizarea lui) fiind numit pas. Procesul de calcul al valorii xk=F(xk-1) se numeşte iteraţia k a metodei.

Există mai multe caracteristici ale metodelor iterative: viteza de convergenţă, complexitatea calculelor (numărul preconizat de operaţii aritmetice), volumul de memorie utilizat (atât operativă, cât şi externă), stabilitatea faţă de erorile de calcul, timpul (durata) calculelor etc. Caracteristicile pot fi atât apriorice, cât şi aposteriorice. Cele apriorice pot fi determinate înainte de calcularea elementului xk, iar cele aposteriorice se determină numai după calcularea elementului xk.

Totuşi evaluarea calităţii unei metode iterative cere elucidarea, în primul rând, a trei probleme de bază:

  1. verificarea dacă metoda este într-adevăr convergentă, adică verificarea relaţiei: limk–>∞ xk =x*.
  2. estimarea distanţei d(xk, x*) (dacă există o estimare apriorică, atunci, de regulă, poate fi indicat atât numărul de iteraţii k care trebuie efectuate pentru a atinge exactitatea dorită, cât şi numărul necesar de operaţii aritmetice);
  3. estimarea vitezei (ratei, ordinului) de convergenţă către zero a distanţei d(xk, x*) , ceea ce înseamnă indicarea, în general, a unei consecutivităţi βk convergente către zero pentru care are loc d(xk, x*) ≤ q βk, unde q este o constantă necunoscută. Această problemă prezintă interes numai în cazul în care este dificil a evalua distanţa d(xk, x*).

Astfel, procesul iterativ converge liniar (cu viteza unei progresii geometrice) dacă există q ∈ (0,1) şi k0, încît

d(xk+1, x*) ≤ q d(xk, x*)

pentru orice k ≥ k0. Viteza de convergenţă e supraliniară dacă

d(xk+1, x*)qk d(xk, x*)

unde limk–>∞ qk = +0.

Calitatea metodelor iterative se estimează şi prin viteza de convergenţă a şirului de valori f(x0), f(x1), …, f(xk),… ale funcţiei obiectiv către valoarea optimă f(x*). Se consideră că metoda iterativă e definită complet dacă e stabilit domeniul în care se satisfac condiţiile de convergenţă şi sunt stabilite condiţiile de oprire a procesului iterativ.

Condiţiile de oprire diferă de la metodă la metodă, dar, în general, rezidă în verificarea după fiecare iteraţie a unei inegalităţi de tipul:

d(xk+1, x*) ≤ ε1,

| f(xk+1) – f(xk) | ≤ ε2,

în care ε1, ε2 ≥ 0, sunt exactităţile cu care se determină soluţia problemei, numere oricît de mici, prestabilite la lansarea în execuţie a procesului iterativ. Satisfacerea inegalităţii serveşte ca indiciu de oprire a procesului de calcul.

Dacă mulţimea de soluţii admisibile X are un număr finit de elemente, atunci problema dată este o problemă de optimizare combinatorie. Soluţia ei se determină ipotetec într-un timp garantat finit (dependent de dimensiunea datelor problemei).

Timpul (numărul de iteraţii, de paşi, de operaţii folosit de metodă la rezolvarea problemei este numit complexitate temporală a metodei. Se spune că metoda (sau algoritmul) are complexitatea O(φ (L)), dacă există o constantă C > 0 astfel că timpul necesar la rezolvarea problemei cu dimensiunea L nu depăşeşte C φ(L), unde φ este funcţie numerică, iar
L
– numărul de simboluri necesare pentru codificarea datelor problemei (combinatorii) la introducerea lor în calculator. Dacă funcţia φ este polinomială în raport cu L, metoda are complexitate polinomială.

Dacă φ este exponenţială în raport cu L, metoda are complexitate exponenţială.

Sunt considerate eficiente metodele de complexitate polinomială.

La cercetarea şi rezolvarea problemelor de optimizare au o importanţă specifică construcţiile geometrice, datorită caracterului lor ilustrativ în context teoretic, cât şi practic.

Sursa: V. Ungureanu, Programarea Matematică, Chişinău, USM, 2001.

http://www.youtube.com/p/436C5B5CC27376F9?hl=en_US&fs=1

Google Books Ngram Viewer

Compania Google ne oferă în continuare surprize extraordinare. De această dată legate de patrimoniul mondial de cărţi. Dar s-o începem de la început, ca lucrurile să fie cât mai clare.

În 2004 Google a început un proiect pe cât de ambiţios, pe atât de aparent imposibil – scanarea tuturor cărţilor publicate în lume în toate limbile, trecerea lor în format digital şi oferirea accesului la cărţi tuturor doritorilor. Proiectul Google Books, căci de el e vorba, părea la început absolut utopic. Google şi timpul au dovedit că nu e aşa. La moment sunt scanate deja circa 15 milioane de cărţi din totalul de circa 130 de milioane, publicate din secolul 15, când graţie lui Johannes Gutenberg tiparul mecanic a pătruns în occident. Invenţia tiparului mecanic aparţine totuşi chinezilor, prima carte cunoscută fiind „Diamond Sutra”, publicată în anul 868. Se presupune că chinezii foloseau tiparul cu mult înainte.

Din cele 15 milioane de cărţi trecute în format digital a fost alcătuit un corpus de 5 milioane în baza căruia se lansează un alt proiect ambiţios de studiere a culturii în baza datelor numerice obţinute din această baza de date, care include circa 4% procente din toate cărţile publicate vreodată.

Corpusul final (baza de date) conţine circa 500 de miliarde de cuvinte, în 7 limbi:

  • engleză (361 miliarde),
  • franceză (45 miliarde),
  • spaniolă (45 miliarde),
  • germană (37 miliarde),
  • chineză (13 miliarde),
  • rusă (35 miliarde),
  • ebraică (2 miliarde).

Cea mai veche lucrare e publicată în secolul 15. Primele decenii sunt reprezentate doar de câteva cărţi pe an, care însumează câteva sute de mii de cuvinte. Din 1800, corpusul creşte cu circa 60 de milioane de cuvinte pe an; din 1900 – cu 1,4 miliarde şi din 2000 – cu  8 miliarde.

Corpusul nu poate fi citit de om. I-ar trebui 80 de ani pentru a citi încontinuu doar cărţile publicate din 2000 cu viteza de 200 de cuvinte pe minut, fără întreruperi pentru somn şi mâncare. Consecutivitatea de litere din corpusul specificat e mai lungă de 1000 de ori decât genomul uman: dacă ar fi scrise pe o linie dreaptă, ar ajunge la Lună şi înapoi mai mult de 10 ori.

Proiectul Google Books a stârnit chiar de la lansare controverse cu autorii de cărţi şi cu editurile, pe motivul drepturilor de autor. În restricţiile legate de această controversă, cercetările iniţiate ţin deocamdată de n-grame, adică de consecutivităţi a câte n şiruri de caractere divizate de spaţiu. O 1-gramă (uni-gramă) e formată de un şir de caractere ce nu conţine spaţiu. Uni-grama poate include cuvinte („om”, „lume”, „calculator”) dar şi numere („3,14159”, „12357”). Astfel o n-gramă reprezintă un şir din n uni-grame, care poate fi şi fraze, denumiri etc. („Republica Moldova” – 2-gramă, „”Statele Unite ale Americii” – 4-gramă). Deocamdată n este restricţionat cu 5 şi n-grama trebuie să apară de cel puţin 40 de ori.

De secole savanţii lingvişti, interesaţi de evoluţia cuvintelor şi a trendurilor lingvistice corespunzătoare, erau „condamnaţi” la citirea nenumăratelor cărţi. Google a săvârşit încă o „revoluţie liniştită”. Acest gen de cercetare poate fi efectuat cu ajutorul calculatoarelor şi de către oricine. E suficient să se acceseze şi să se lucreze cu Google Books Ngram Viewer.

Cercetările lingvistice şi cele sociale au de acum înainte noi dimensiuni numerice, evidenţiate de aceste proiect. Şi nu e vorba doar de frecvenţa n-gramelor… Spre exemplu, cercetările au arătat că limba  engleză a cunoscut o creştere enormă a numărului de cuvinte:

1900 – 544 000 de cuvinte,

1950 – 597 000 de cuvinte,

2000 – 1 022 000 de cuvinte.

Lexicul englez înregistrează o perioadă de creştere fantastică – dimensiunea lui se măreşte cu circa 8500 de cuvinte pe an. Ultimii 50 de ani limba engleză a „crescut” cu circa 70%. Mai mult, cercetările efectuate în cadrul proiectului au arăt că nici un dicţionar nu conţine toate cuvintele din corpusul limbii engleze – cel puţin 500 000 de cuvinte nu apar nici într-un dicţionar.

Alt domeniu ştiinţific care a obţinut un extraordinar instrument de cercetare e cel ce ţine de evoluţia gramaticii, de scrierea cuvintelor, de evoluţia lor.

Rezultatele care pot fi obţinute în acest proiect ţin şi de aspectele sociale, cum sunt: detectarea cenzurii şi a persecuţiei autorilor, legătura dintre vârstă şi notorietate etc.

Proiectul semanalează apariţia unui nou termen şi domeniu de cercetare – Culturomica – studiul culturii umane cu ajutorul bazelor de date de milioane de cărţi.

Mai multe detalii pot fi citite în articolul Quantitative Analysis of Culture Using Millions of Digitized Books, publicat de autorii proiectului în revista Science.

Trucuri ştiinţifice pentru petrecerile de Crăciun

Profesorul Richard Wiseman de la Universitatea Hertfordshire (UK) oferă şi în acest an, ca şi în anul trecut, 10 trucuri extraordinare pentru petrecerile de Crăciun. De această dată le denumeşte trucuri ştiinţifice. Vă pot crea o atmosferă de magie la mesele şi petrecerile de Crăciun.

Trucurile de anul trecut au înregistrat aproape 2 mln de vizualizări. Dacă nu le-aţi vizualizat, vă sunt la îndemână.

Apropo, blogul profesorului Richard Wiseman este des actualizat şi ar putea să vă trezească interesul.

De asemenea, ar putea să vă fie interesante şi trucurile cu lumânarea.