Ghineologia, ghineologii de pe Bâc şi teoria jocurilor

Pe malurile tulburelului şi necristalinului Bâc jocurile politice sunt în toi. Jocuri cu specific local şi culminare relativă pe 5 iunie, când urmează să se desfăşoare scrutinul chişinăuian pentru funcţia de primar. Slavă Domnului, Chişinăul a avut în decurs de 4 ani primar ales, spre deosebire de republică, ce aşteaptă mai mult de 2 ani să fie ales preşedintele. Băieţandrul de acum 4 ani a prins la puteri şi scăpând de beleaua comunistă, care îi producea mâncărime permanentă, a reuşit să realizeze câte ceva: n-a mai fost arestat de Anul Nou bradul, a dispărut mirosul neplăcut de la staţia de epurare a apelor, au apărut troleibuze noi, cercetate cu interes şi chiar uimire de orăşeni – sunt oare reale?… Totuşi, chiar dacă e cald afară, orăşenii nu uită de facturile care au venit iarna pentru căldură. Iar Dumnezeu a trimis de curând în capitală o ploaie de vară, să reamintească starea dezastruoasă a drumurilor şi canalizaţiei din Chişinău – ploaia a inundat, cu părere de rău, mai multe case şi a „înecat” din nou Gara Feroviară…

Lumea, în mod normal, mai spune şi câte un cuvânt de „ghine” despre activitatea actualei Primării, dar şi mai mult înjură clasa politică, clasa nesăţioşilor care văd „ghinele” în propria activitate – pentru sine şi cei alăturaţi lor şi mai puţin sau deloc pentru alegătorii simpli.

Mai serios, mai puţin serios, ceea ce se întâmplă în Chişinău se aseamănă mult cu o licitaţie… Cum?

Păi se vinde… Primăria Capitalei – care în alegeri constituie o sumă de voturi ale alegătorilor! Pare aiureală! E doar aparent aiureală! Real, cumpărători sunt partidele politice, iar vânzători – alegătorii. Partidele propun preţuri folosind ca valută promisiunile! Alegătorii vând Primăria oferind-o celor care promit mai mult! Un soi de ghineologie„ştiinţă” autohtonă de a promite ghine, care apoi intră pe gât celor care îl cred. Nu căutaţi în Internet acest cuvânt! Veţi găsi doar unul asemănător – ginecologie. Se aseamănă, nu numai prin transcripţie şi pronunţare, unii pot exagera – că şi prin obiectele de studiu… Totuşi… Dacă ultima este o ştiinţă şi practică serioasă, la ai cărei specialişti lumea doreşte să nu ajungă, dar la care apelează cu recunoştinţă când e nevoie, ghineologia e o escrocherie, practicată de şarlatani. Ce nu fac ei în alegeri? Joacă fotbal, volei, aleargă, strâng gunoaie prin parcuri, cântă, spun poezii, se fotografiază solitar, în grupuri de doi, trei şi mai mulţi, se filmează, mai dau câte un ban celor nevoiaşi, mai fac spectacole pe la posturi de televiziune, mai scriu pe bloguri… Au imaginaţie, frate, nu şagă! Şi au pentru ce, că scăpând la troacă, recuperează înzecit tot ce au cheltuit…

În iulie 1994, într-un hotel din Washington, se desfăşura o licitaţie neobişnuită… Nu se vindeau tablouri, monede rare, obiecte de artă, furnitură antică. Se licita o fâşie din spectrul electromagnetic pentru noua generaţie de telefoane mobile, page-re şi alte dispozitive de comunicare. Până la acel moment, Guvernul American nu vându-se vreodată ceva asemănător şi nimeni nu putea spune ce se va întâmpla. Comisia Federală de Comunicaţii (CFC) prognoza rezultatul pentru tot spectrul la 10 miliarde de dolari SUA, dar liderii din industria telecomunicaţiilor au luat în derâdere ideea că ar putea achita o sumă apropiată de cea enunţată.

Când licitaţia a fost lansată, preţurile au început să crească cu zeci de milioane de dolari pe oră. „Era un sentiment de parcă am fi jucat în pocher milioane de dolari” – îşi împărtăşea ulterior impresiile John McMillan, matematician/economist şi specialist în teoria licitaţiilor/jocurilor de la Universitatea Stanford, care a ajutat CFC să organizeze licitaţia. Doar acea primă licitaţie a adus un câştig de 617 milioane de dolari SUA, numai pentru 10 mici licenţe. Următoarea licitaţie din decembrie al aceluiaşi an a adus un câştig de peste 7 miliarde dolari SUA, bâtând toate recordurile de vânzare a bunurilor publice. La începutul anului 2001, câştigurile din vânzarea frecvenţelor erau deja de 42 de miliarde de dolari SUA, urmând să mai fie vându-te încă mii de alte licenţe disponibile.

Lucrurile ar fi putut să aibă altă turnură dacă Guvernul American n-ar fi realizat eforturi serioase în elaborarea regulilor de licitare şi plată. Construirea regulilor a fost o problemă de mare complexitate. CFC a divizat tot spectrul în mii de licenţe. Trebuiau ele toate vândute concomitent ori separat fiecare? Trebuiau colectate cererile şi examinate concomitent, ori să se vândă la licitaţie? Trebuiau alcătuite reguli care să garanteze că licenţele vor ajunge la firmele care le vor folosi rapid şi eficient? Trebuiau excluse posibilităţile de aranjamente între cei ce cumpără pentru a menţine preţuri mici?

Toate aceste întrebări au fost adresate matematicienilor – experţi în teoria jocurilor, care au schiţat strategiile ce urmau să funcţioneze mai bine în condiţii de competitivitate…

Matematicienii, specialişti în teoria jocurilor, s-au isprăvit de minune cu toate dificultăţile unor asemenea probleme practice. Fondatorii teoriei jocurilor nu puteau să-şi imagineze vreodată, că la finele anului 2001 elaborările lor vor aduce câştiguri fabuloase, mai mari de 100 de miliarde de dolari SUA în întreaga lume, doar la aplicarea tezelor teoretice în domeniul licitaţiilor. Teoria jocurilor, care se năştea în anii 1920, ca cercetare a jocului de pocher, a devenit nu numai o ştiinţă cu 9 laureaţi ai Premiului Nobel pentru Economie, dar şi un mare business.

E un citat din articolul: “The Bidding Game”, written by science writer Erica Klarreich with the assistance of Drs. Kenneth Arrow, Robert Aumann, John McMillan, Paul Milgrom, Roger Myerson, and Thomas Schelling for Beyond Discovery®: The Path from Research to Human Benefit, a project of the National Academy of Sciences.

M-am referit la acest articol doar pentru a sublinia că la rezolvarea serioasă a lucrurilor se apelează la specialişti (în situaţia descrisă – la cei din teoria jocurilor). Nu e cazul la noi. Nu reuşeşte barem o reformă în domeniul justiţiei, nemaivorbind de o aplicare serioasă de cercetări ştiinţifice. Veţi spune că nu avem specialişti în asemenea domenii! Nu e adevărat! Avem specialişti! Şi buni! Doar că şi în domeniul ştiinţei domină o situaţie asemănătoare cu cea din societate, la general – ştiinţa e dominată de corupţie şi dacă s-ar aloca bani pentru cercetări serioase/ştiinţifice, ar ajunge la mâncăii care stau de zeci de ani „de strajă la hotarele” finanţării „ştiinţifice”.

Exemplul prezentat ilustrează elocvent de ce e atâta bătaie cu reforma justiţiei! Nu e vorba doar de putere! E vorba de sume fabuloase de bani, care pot fi câştigate dictând într-un fel sau altul regulile de joc.

Să participăm ori nu la alegeri? Odată ce suntem alegători, suntem deja jucători ai jocului numit alegeri. Neprezentarea la urna de vot, e doar una dintre posibilele strategii… Fiecare trebuie să aleagă cea mai bună strategie pentru sine şi pentru întreaga societate.

Şi viaţa, şi alegerile sunt jocuri – să nu ne ratăm şansa din ele!

Reclame

Modele economico-matematice celebre

E cunoscut că Premiul Nobel nu se oferă pentru cercetări în domeniul matematicii. Totuşi, de-a lungul anilor mai mulţi matematicieni au fost distinşi cu acest premiu, pentru aplicarea matematicii în alte domenii. Leonid Kantorovich este unul dintre matematicienii căruia i-a fost decernat Premiul Nobel în 1975, împreună cu Tjalling Koopmans, „Pentru contribuţia acestora la teoria folosirii optimale a resurselor”. Precum am menţionat în articolul „Iniţiere în programarea matematică” denumirea de programare matematică provine de la primele cercetări legate de elaborarea prin metode matematice a programelor optime de activitate a agenţilor economici în baza modelelor matematice. Prezint în continuare câteva exemple de situaţii/fenomene economice, devenite deja clasice, pentru care se construiesc modele matematice – probleme de programare matematică.

Problema repartizării eficiente a resurselor limitate

Această problemă e numită şi problemă a asortimentului optim, şi problemă a planificării producţiei. Pentru claritate se consideră la început un exemplu.

Exemplul 1 (problemă liniară). Întreprinderea produce garnituri de mobilă de două tipuri. Producerea unui număr cât mai mare de garnituri e limitată de resursele disponibile de scândură calitativă şi de timpul prelucrării ei cu ajutorul unor maşini automate. Se ştie că la producerea unei garnituri de tipul întâi se utilizează 4 m3 de scândură, iar de tipul doi 5 m3, timpul de prelucrare la maşinile automate a scândurii utilizate pentru o garnitură de fiecare tip fiind egal, corespunzător, cu 15 min şi 30 min. Săptămânal  întreprinderea  dispune de 2100 m3 de scândură, iar maşinile automate pot lucra  în total nu mai mult de 150 de ore.

Câte garnituri de mobilă  de fiecare tip trebuie să producă săptămânal  întreprinderea cu scopul de a maximiza beneficiul total, dacă beneficiul de la comercializarea unei garnituri de fiecare tip  este egal, respectiv, cu 21 unităţi monetare (u.m.) şi 40 u.m?

Introducem notaţiile: x1, x2 – numărul de garnituri de tipurile 1, 2, produse săptămânal. E clar că beneficiul săptămânal de la comercializarea mobilei va fi

f(x)=21 x1 + 40 x2.__________(1)

Restricţiile pentru resurse sunt:

4 x1 +5 x2 2100,__________(2)
1/4 x1 + 1/2 x2 150,_______(3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0._____________(4)

Pproblema de programare matematică obţinută cere maximizarea beneficiului (1)  în restricţiile (2)-(4). Situaţia din exemplul 1 poate fi generalizată.

Întreprinderea produce n tipuri de produse, utilizând pentru aceasta  m tipuri de resurse (capital, materii prime, forţă de muncă, timp etc.). Cantitatea de resursă i disponibilă  în decursul perioadei examinate de timp (săptămână, lună, an ec.) este egală cu bi, (i=1,…,m). E cunoscut că la fabricarea unei unităţi de produs j  întreprinderea utilizează aij unităţi de resursă i (i=1,…,m, j=1,…,n), iar beneficiul obţinut de la valorificarea unei unităţi de produs j este egal cu cj (j=1,…,n) unităţi monetare.

Să se determine cantităţile de produse ce urmează a fi fabricate  în perioada de timp dată,  încât beneficiul total să fie maxim.

Dacă notăm cu xj (j=1,…,n) cantitatea de produs j fabricat pe parcursul  întregii perioade de timp, atunci f(x)=c1x1+c2x2 +…+cnxn este beneficiul total obţinut de la valorificarea asortimentului x1, x2, …, xn;
ai1x1+ai2x2 +…+ainxn este cantitatea de resursă i utilizată la producerea asortimentului x1, x2, …, xn, cantitate ce nu poate depăşi bi.

În aceste notaţii, problema iniţială, numită problemă de repartizare eficientă a resurselor limitate, poate fi scrisă:

f(x)=c1x1+c2x2 +…+cnxn → max,_______(5)
ai1x1+ai2x2 +…+ainxn bi, i=1,…,m,____(6)
xj ≥ 0, j=1,…,n.______________________(7)

Remarcă. În afară de restricţiile pentru resurse,  în condiţiile problemei şi, respectiv, în modelul ei matematic mai pot fi restricţii de sortiment, de completare etc.

Menţionăm că (5)-(7) este o problemă de programare liniară. Dacă introducem notaţiile:

x=( x1, x2, …, xn)T,
c=( c1, c2, …, cn)T,
b=( b1, b2, …, bm)T,
A= [aij ]i = 1,…m; j = 1,…,n

atunci (5)-(7) poate fi scrisă şi în formă matriceală:

f(x)=cT x → max,
Ax ≤ b,
x ≥ 0.

Problema dietei

Mai are şi denumirile: problema nutriţiei, problema  meniului optim, problema amestecului.

Din considerente de sănătate orice fiinţă trebuie să consume zilnic necesarul biologic constituit din cantităţi minime de anumite substanţe/principii nutritive: proteine, vitamine, glucide, hidrocarburi etc., care se conţin în anumite cantităţi în diferite produse alimentare. Problema dietei constă în asigurarea necesarului biologic cu cheltuieli minime.

Fie:

n – numărul de produse alimentare;
m – numărul de principii nutritive;
bi – cantitatea de principiu nutritiv i ce intră în necesarul biologic (i=1,…,m);
aij – cantitatea de principiu nutritiv i ce se conţine într-o unitate de produs j, (i=1,…,m, j=1,…,n);
cj – costul unei unităţi
de produs alimentar j,( j=1,…,n);
xj – cantitatea de produs alimentar j, (j=1,…,n), care urmează să fie întrebuinţat zilnic.

În notaţiile de mai sus, modelul matematic al problemei dietei are forma:

f(x)=c1x1+c2x2 +…+cnxnmin,_______(8)
ai1x1+ai2x2 +…+ainxn bi, i=1,…,m,____(9)
x 0, j=1,…,n. _____________________(10)

Dacă utilizăm notaţiile matriceale, atunci (8)-(10) se scrie:

f(x)=cT x → min,
Ax ≥ b,
x ≥ 0.

Problema de transport

Marfa omogenă, stocată în m depozite în cantităţile a1, a2,…, am, urmează a fi transportată la n consumatori care solicită cantităţile b1, b2,…, bn, corespunzător. Se presupune că disponibilul total este egal cu cererea totală. Fiind cunoscute tarifele de transport cij, (i=1,…,m, j=1,…,n), să se determine planul de transport care asigură cheltuieli minime.

Dacă notăm cu xij cantitatea de marfă ce urmează a fi transportată de la depozitul i la consumatorul j, atunci:

xi1+xi2+…+xin reprezintă volumul de marfă ce urmează a fi transportată de la depozitul i tuturor consumatorilor;
x1j+x2j+…+xmj reprezintă volumul de marfă ce urmează a fi primită de consumatorul j de la toate depozitele;
c11 x11+c12 x12+…+c1n x1n + c21 x21+…+cmn xmn reprezintă cheltuielile totale necesare pentru realizarea planului de transport xij (i=1,…,m, j=1,…,n).

În asemenea notaţii, problema de transport ia forma:

f(x)= c11 x11+c12 x12+…+c1n x1n + c21 x21+…+cmn xmn → min,___(11)
xi1+xi2+…+xin = ai,  i=1,…,m,_______________________________(12)
x1j+x2j+…+xmj = bj, j=1,…,n,________________________________(13)
xij ≥ 0,  i=1,…,m, j=1,…,n. ___________________________________(11)

Dacă notăm:

C= [cij ]i = 1,…m; j = 1,…,n
_____??| I O … O |
_____??| O I … O |
Amxn = |     …     |
______?| O O … I |
______?| E E … E |

unde

I = (1, 1,…, 1),
O = (0, 0,…, 0),
Enxn – matrice unitate,
x = (x11, x12,…, x1n, x21, x22, …, xmn)T,
c = (c11, c12,…, c1n, c21, c22, …, cmn)T,
b = (a1, a2,…, am, b1, b2, …, bn)T,

atunci (11)-(13) se scrie şi sub formă matriceală:

f(x)=cT x → min,
Ax = b,
x ≥ 0.

Exemplul 2 (problemă neliniară). Întreprinderea produce recipiente cilindrice de volum unitar din materie primă costisitoare (foi metalice). Pentru a asigura cheltuieli minime, se cer determinate dimensiunile recipientului de acelaşi volum unitar, dar de suprafaţă minimă.

Dacă notăm: r – raza bazei, h – înălţimea recipientului, atunci obţinem următorul model:

s(r, h) = 2πr2 + 2πrh → min,____(14)
πr2h = 1,__________________(15)
r, h ≥ 0.____________________(16)

Problema (14)-(16)  poate fi rezolvată cu uşurinţă.  Într-adevăr, din (15) reiese că h=1/(πr2). Înlocuind această expresie pentru h în (14), obţinem o funcţie de o singură variabilă s(r, h)=s(r)=2πr2+2πr/(πr2)=  2(πr2+ 1/r) şi o problemă de optimizare necondiţionată. E cunoscut că în punctele de optim derivata funcţiei în raport cu r trebuie să fie nulă. Deci, punctele critice ale funcţiei sunt soluţii ale ecuaţiei: s′(r)=4πr – 2/r2=0. De unde, r*=3√( 1/(2π)).

Se observă că pentru valorile variabilei r mai mici decât r* derivata este negativă, iar pentru valori mai mari decât r* este pozitivă. Rezultă că r* este punct de minim şi dacă revenind la problema  iniţială obţinem soluţia optimă:
r* =3√ (1/( 2π));  h* =3√  (4/π); s* = 3 3√ (2π).

De reţinut că exemplul 2 a fost rezolvat prin metode tradiţionale, bine cunoscute din analiza matematică. Se observă însă că acelaşi procedeu nu poate fi utilizat la rezolvarea nici a exemplului 1, nici a celorlalte probleme de programare liniară construite în acest paragraf.  Într-adevăr, deoarece funcţia obiectiv este liniară, fiecare dintre derivatele parţiale este egală cu coeficientul respectivei variabile,  adică valoarea derivatei este constantă. Ar fi o trivialitate ca toţi coeficienţii funcţiei obiectiv să fie egali cu zero concomitent.

Deci în interiorul domeniului de puncte admisibile optimuri nu pot fi. Ele se pot afla doar pe frontieră. Punctele frontierei, în schimb, nu pot fi explorate, deoarece derivatele sunt constante. Aşadar, soluţionarea problemelor de programare liniară necesită metode speciale.

Solicită metode speciale şi alte probleme.  În calitate de exemplu poate servi următoarea problemă, formulată pentru prima dată de profesorul Universităţii California Harry Markowitz, laureat al premiului Nobel în economie în anul 1990 împreună cu Merton
Miller
şi William Sharpe „pentru lucrul de pionierat în teoria economiei financiare”.

Problema portofoliului de investiţii.

La bursa de valori se vând n tipuri de acţiuni. Conform datelor unui eşantion de volum nl (l – numărul de luni cuprinse de sondaj) în luna k acţiunile de tipul j au adus un venit de pj(k) procente. Se aşteaptă că fiecare acţiune de tipul j va aduce în medie un venit de pj procente.

În baza datelor de eşantion se calculează matricea de covariaţie a veniturilor  C=[cij ]i,j=1,…,n.

Agentul economic planifică o investiţie în hârtii de valoare a unei anumite sume de bani, proporţiile de procurare dorind să le aleagă în aşa mod încât să-şi asigure un venit maxim la un risc minim.

Dacă notăm cu xj partea din activ investită în acţiunile de tipul j, atunci ∑j=1n pj xj reprezintă venitul aşteptat de la portofoliul x1, …, xn, iar ∑j=1ncij xi xj reprezintă valoarea riscului.

Problema respectivă de programare matematică se formulează în felul următor:

j=1n pj xj → max,________(17)
i=1nj=1ncij xi xj → min,__(18)
j=1n xj = 1,_____________(19)
xj ≥ 0, j=1,…,n.___________(20)

(17)-(18) reflectă scopurile investorului: maximizarea venitului (17) şi minimizarea riscului (18). Portofoliul x1, … , xn de hârtii de valoare e considerat eficient dacă nu există alte portofolii cu venit mai mare şi risc mai mic, cu venit mai mare şi acelaşi risc sau cu risc mai mic şi acelaşi venit.

Problemele de atare tip, în care se optimizează concomitent valorile ale mai multor funcţii obiectiv, se numesc probleme de optimizare multicriterială. Se înţelege că ele solicită şi tratări speciale.

În încheiere vom menţiona  că necesităţile de metode netradiţionale de soluţionare şi de noi abordări teoretice sunt dictate, în mare măsură, şi de complexitatea domeniului. Ca o confirmare a acestei afirmaţii ne poate servi faptul că multe dintre problemele bine cunoscute şi unanim recunoscute ca „pietre unghiulare” în matematică se formulează şi se cercetează în cadrul programării matematice.

Teorema lui Pierre Fermat, datată din 1637, despre imposibilitatea rezolvării în numere întregi a ecuaţiei:

xn + yn =zn,

unde n ≥ 3, demonstrată (pe 150 de pagini) abia în 1994 de către Andrew Wiles, profesor al Universităţii Princeton, este echivalentă cu următoarea problemă de programare matematică:

(xn + yn – zn)2 + M (1 – cos 2πx)2 + M (1 – cos 2πy)2 + M (1 – cos 2πz)2 + M (1 – cos 2πn)2 → min,

n ≥ 3,  x, y, z ≥ 1, M » 0 este un coeficient de penalizare.

O eventuală enumerare a tuturor problemelor de aşa natură practic e imposibilă. Totuşi atât problemele de mai sus, precum şi altele cum sunt problema satisfiabilităţii formelor booleene din logica matematică, problema izomorfismului a două grafe din teoria grafelor etc., probleme care se formulează şi se cercetează ca probleme de programare matematică, sunt o dovadă în plus a importanţei programării matematice şi a conexiunii ei cu domeniile contemporane de cercetări şi aplicaţii.

Sursa: V. Ungureanu, Programarea Matematică, Chişinău, USM, 2001.

http://www.youtube.com/p/80F23997E5B90250?hl=en_US&fs=1

Vlad Filat – pre şi post

Azi, între orele 16.00 şi 18.40+, în restaurantul Passepartout, a avut loc întâlnirea off-line a blogherilor  din Republica Moldova cu prim-ministrul Vlad Filat.

Am întârziat cu circa 15 minute şi am fost nevoit să fac „cunoştinţă” cu paza de corp a prim-ministrului – persoane impunătoare fizic şi destul de plăcute în comunicare.

Când am ajuns în sală, întâlnirea/interviul era deja în toi. Am găsit un scaun şi un loc liber. După ce m-am aşezat am observat că m-am aşezat alături de Nata Albot de la ProTv, prezentă în calitate de blogheriţă.

Întrebările au curs rând pe rând. Prim-ministrul Vlad Filat a răspuns cu îngăduinţă la ele. Nu-şi însemna întrebările. Le ţinea minte. N-am observat să se fi eschivat să răspundă la vreo una dintre ele.

Mi-a fost oferită ocazia să pun şi eu întrebările mele. Le-am pus sub următoarea formă:

Domnule prim-ministru! Se spune că până ajungi la Dumnezeu, te mănâncă „sfinţii”. În anturajul dumneavoastră există „sfinţi”?
Vă influenţează ei mult deciziile pe care le luaţi?
Deciziile dumneavoastră pot fi calculate/pronosticate?
Deciziile referitoare la economie le luaţi şi în baza unor rezultate ale investigaţiilor ştiinţifice?
Sunteţi la curent cu efectul de recursivitate în finanţarea proiectelor ştiinţifice – acei care obţin finanţarea unui proiect ştiinţific reuşesc recursiv să menţină finanţarea, astfel că e foarte greu să pătrundă şi alţi savanţi în această „maşinărie”?

Răspunsurile au fost concise şi la temă. Pe scurt se rezumă la următoarele:

  • Încearcă să ia deciziile conştient, verificând, pe cât e posibil, oportunitatea fiecăreia, excluzând, pe cât e posibil, o influenţă proastă sau interesată.
  • În luarea deciziilor economice îşi spun cuvântul comisiile de experţi.
  • Academia de Ştiinţe ar trebui să argumenteze deciziile din economie.
  • Sunt dificultăţi cu finanţarea ştiinţei şi actuala guvernare încearcă să le rezolve, folosind şi comisiile de experţi.

Nu mă voi referi la alte întrebări şi răspunsuri. Le vor publica alţi blogheri.

Prim-ministrul a răspuns non-stop la întrebări aproape trei ore. A lăsat o impresie bună. Are o mare capacitate de lucru şi o inteligenţă dinamică. În decursul întâlnirii nu a avut vreo situaţie stânjenitoare. Toţi au ascultat cu mare atenţie răspunsurile lui.

Imaginea pe care o aveam despre el înainte de întâlnire doar s-a îmbunătăţit după… Adică preimaginea s-a transformat într-o mai bună postimagine…

Succese, domnule prim-ministru, în realizarea planurilor ce ţin de viitorul mai bun al Moldovei! Sănătate şi numai bine!